二 稳定状态下全社会的消费、资产和收入

（一）有关假定

为便于探讨稳定状态下全社会的消费、资产和收入，我们提出几个使问题得以简化的假定：（1）人口始终按固定速度n增长；（2）人口死亡率表（分年龄的死亡率）不随时间而变；（3）社会工资率和个人工作期间工资率都按固定速度g增长；（4）不同时刻出生的人的行为方式相同，人口学特征也相同（瞬时效用函数、时间偏好率、开始工作的年龄、工作年限、预期寿命、对未来收入的预期方式等都相同）；（5）遗产继承发生在开始工作的时刻；（6）未成年人（20岁以下的人）没有资产和收入，其消费由成年人供给（模型所计算的成年人的消费，已包含未成年人的消费在内）。

现在，我们根据以上假定，逐步推导全社会的消费、资产和收入。推导中需要使用几个新的符号：C（t，x）表示时刻t年龄为x者的一个人的消费；A（t，x）表示时刻t年龄为x者的一个人的资产；Y（t，x）表示时刻t年龄为x者的一个人的收入；p（t，x）表示时刻t年龄为x者的人数。

（二）同一时刻不同年龄者的消费、资产和收入

由于经济的不断增长，人们的消费、资产和收入会不断提高。在工资率始终按固定速度g增长、人口始终按固定速度n增长、人口的年龄结构保持不变的条件下，时刻t年龄为x者的消费、资产和收入，必等于时刻x年龄为x者的消费、资产和收入的exp［g（t-x）］倍。即：

C（t，x）=cxexp［g（t-x）］　　　　　　（3）

A（t，x）=Axexp［g（t-x）］　　　　　　（4）

Y（t，x）=Yxexp［g（t-x）］　　　　　　（5）

这里cx，Ax，Yx就是前面描述的典型决策者在时刻（年龄）x的消费、资产和收入。对于以上三式，若保持t不变而让x变动，则它们表示同一时刻（t）不同年龄（x）的人的消费、资产和收入与典型决策者在不同年龄（x）的消费、资产和收入的关系。当θ=0.02，j=3，Q=65，R=0.055，g=0.04，W20=1，A20=2 时，同一时刻不同年龄的人的消费（C）、资产（A）和收入（Y）的图形如图2-3和图2-4所示。

图2-3

图2-4

（三）某时刻全社会的消费、资产和收入

全社会的消费、资产和收入，分别等于个人消费、资产和收入的总和。由于已假定未成年人无资产和收入，且他们的消费已包含在模型所计算的成年人的消费之中，全社会的消费、资产和收入就分别等于成年人的消费、资产和收入的总和。令C（t）、A（t）、Y（t）分别表示全社会在时刻t的消费、资产和收入，N表示最大可能年龄，则有：

C（t）=∫N20C（t，x）p（t，x）dx　　　　　　（6）

A（t）=∫N20A（t，x）p（t，x）dx　　　　　　（7）

Y（t）=∫N20Y（t，x）p（t，x）dx　　　　　　（8）

在人口始终按固定速度n增长、人口的年龄结构保持不变的条件下，人口统计学给出：

p（t，x）=p（0，0）Lxexp［n（t-x）］　　　　　　（9）

式中，Lx是0岁者活到x岁的概率，它也是根据死亡率表Dx计算出来的。

（四）初始资产与遗产的关系

前面已经假定：人们20岁开始工作，开始拥有资产；某时刻开始工作的所有人的初始资产，等于该时刻死亡的所有人留下的遗产。因此有：

A（t，20）=［∫N20A（t，x）p（t，x）Dxdx］/p（t，20）　　　　　　（10）

（五）与全社会消费、资产和收入有关的几个重要比率

令s、σ、α分别表示稳定状态下全社会的储蓄率、收入-资产比率和资产收益份额。这些比率的计算式如下：

s=1-C（t）/Y（t）　　　　　　（11）

σ=Y（t）/A（t）　　　　　　（12）

α=RA（t）/Y（t）=R/σ　　　　　　（13）

可以证明，在稳定状态下，储蓄率、收入-资产比率和资产收益份额都不随时间而变。

需要特别指出的是，储蓄率（s）、收入-资产比率（σ）与经济增长率（g+n）三者之间有（14）式关系，其证明从略。

s=（g+n）/σ　　　　　　（14）